Loading...

On Curves and Surfaces Defined Over Number Fields

Filom, Khashayar | 2017

795 Viewed
  1. Type of Document: Ph.D. Dissertation
  2. Language: Farsi
  3. Document No: 49963 (02)
  4. University: Sharif University of Technology
  5. Department: Mathematical Sciences
  6. Advisor(s): Fanai, Hamid Reza; Shahshahani, Mehrdad
  7. Abstract:
  8. The main purpose of this thesis is to study computational questions related to compact Riemann surfaces (algebraic curves) with main emphasis on the theory of Grothendieck’s dessins d’enfants; where recovering the explicit formula of a Belyi map from the corresponding dessin on a topological surface is important. Some applications such as investigating the modular j-function and also certain classes of modular curves are included in this thesis along with a summary of attempts toward generalizing the Belyi theorem to complex dimension two.First two chapters contain necessary prerequisites on compact Riemann surfaces and a short introduction to the theory of dessins d’enfants and Belyi maps.In lower genera, many calculations can be carried out explicitly and fairly simple descriptions of the corresponding moduli spaces may be obtained. In the third chapter,after reviewing the parametrization of the moduli space in genus one or two with j-invariant and Igusa’s invariants respectively, we will derive algebraic formulas for certain isogenies between elliptic curves or morphisms from a genus two curve onto an elliptic curve which will be employed to derive several special values of the function j, few identities for this function and to study periods of genus two Riemann surfaces with large groups of automorphisms. In genus three, there is a discussion on Hurwitz spaces. We will use the classical invariant theory of finite groups throughout this chapter to describe these moduli and Hurwitz spaces.Going back to dessins in the fourth chapter, we shall explain how a class of modular curves are naturally equipped with Belyi functions. After exhibiting few examples of this kind, we will focus on one of the theorems proven in this thesis which classifies Riemann surfaces equipped with certain pairs of Belyi functions as modular curves.The main example is the modular curve X0(N) that, as instances of this theorem, has been studied thoroughly with drawing dessins and writing the corresponding modular equations for values N = 2; 3; 4. The last chapter is a brief introduction to works trying to find an analog of Belyi’s theorem in complex dimension two along with topological and analytic difficulties that emerge when one tries to formulate a suitable generalization
  9. Keywords:
  10. Belyi Map ; Dessin Denfant Theory ; Moduli Space ; Riemann Surface ; Ramified Covering ; J-Invarient ; Modular Curve ; Igusa's Invarient

 Digital Object List

 Bookmark

  • فهرست تصاویر
  • فهرست نمادها
  • پیش‌گفتار
  • پیش‌نیازهای موردنیاز از نظریه رویه‌های ریمانی
    • تعاریف اولیه
    • قضیه یکنواخت‌سازی
    • پوشش‌های منشعب
      • پوشش‌های منشعب و عمل مداری
      • خم‌های ابربیضوی
    • فضاهای پیمانه‌ای رویه‌های ریمانی
  • مقدمه‌ای بر نظریه توابع بیِلی و طرح‌های گروتندیک
    • قضیه بیِلی
      • میدان تعریف یک خم جبری
      • تابع بیلی و طرح متناظر آن
    • مثال‌های محاسباتی
      • روش عمومی
      • دسن‌های سره
      • توابع تتا و وایرشتراس
    • عمل گروه گالوای مطلق
    • چند کاربرد
    • روش‌های محاسباتی پیشرفته‌تر
    • گریزی به گروه بنیادی اتال
  • خم‌های گونای پایین
    • خم‌های گونای یک
      • ناوردایِ j و عمل گروهِ S3
      • همگونی‌های میان خم‌های بیضوی
      • ضرب مختلط
      • پوشش‌های کلاً شاخه‌ای از یک خم بیضوی
    • خم‌های گونای دو و ناورداهای ایگوسا
      • عمل گروهِ S6
      • ناورداهای ایگوسا
      • تلاش در جهت محاسبه ناورداهای ایگوسا
      • خم‌های گونای دو به عنوان پوشش خم‌های بیضوی
    • خم‌های گونای سه
  • دسن‌ها بر خم‌های پیمانه‌ای
    • ناوردایِ j به عنوان یک تابع بیِلی
      • زیرگروه‌های (1)
      • زیرگروه‌های (2)
    • چند مثال
      • گروه‌های همنهشتی اصلی
      • خم‌های پیمانه‌ایِ X0(N)
    • رده‌بندی کلاسی از خم‌های پیمانه‌ای
  • تعمیم‌هایی به بعد مختلط دو
    • چالش‌های موجود
    • قضیه اصلی
    • یک مسیر پیشنهادی
  • ضمیمه: جدولی از مقادیر ویژۀ تابعِ j
  • کتاب‌نامه
  • واژه‌نامه
  • نمایه
...see more