Loading...

Modularity of Semi-stable Elliptic Curves

Mahkam, Roohallah | 2018

1924 Viewed
  1. Type of Document: M.Sc. Thesis
  2. Language: Farsi
  3. Document No: 51109 (02)
  4. University: Sharif University of Technology
  5. Department: Mathematical Sciences
  6. Advisor(s): Jafari, Amir
  7. Abstract:
  8. Let E be a semi-stable elliptic curve over Q with conductor N and L(E,s) as its L-function. We say that E is modular if there exists an eigenform of weight 2 and level N over X_0(N) such that L(E,s) equals the L-function of f or L(E,s)=L(f,s). Wilse's method to prove this was by proving that the Galois representations induced by E and f are equivalent. First we will discuss that equivalency of those representations is equivalent to equality of L-functions and after that we will use deformation theory for Galois representations to overlook the main ideas of the proof of the modularity theorem. Wiles using the idea of deformation of Galois representaions proved that under proper conditions modularity of a Galois representation is equivalent to modularity of all its deformations and knowing that the representation induced by an elliptic curve is a deformation of its Galois representation modulo 3 or 5 and that every irreducible Galois representation modulo 3 is modular. He proved modularity theorem by finding an irreducible Galois representaion modulo 3
  9. Keywords:
  10. Modularity ; Galois Representations ; Modular Curve ; Elliptic Curve ; Modular Forms ; Hecke Operators ; Galois Representations Deformation

 Digital Object List

 Bookmark

  • مقدمه
  • فرم‌های پیمانه‌ای
    • تعاریف
      • مثال‌ها
    • ضرب داخلی پترسن
    • ‌فرم‌های قدیم و جدید
    • سری دیریکله‌ی یک فرم پیمانه‌ای
    • معادله‌ی تابعی یک فرم پیمانه‌ای
    • عملگرهای هکه
      • عملگر قطری
      • عملگرهای هکه
  • خم‌های ‌بیضوی و پیمانه‌ای
    • خم بیضوی روی میدان دلخواه
    • خم بیضوی روی C
    • خم بیضوی روی Qp
    • خم‌های بیضوی روی Q
    • خم‌های بیضوی روی Q و کاهش آن‌ها
    • خم‌های پیمانه‌ای
      • کاسپ ها
      • خم‌های پیمانه‌ای و فضاهای مدولی‎
    • تعبیر هندسی عملگرهای هکه
  • ژاکوبین یک رویه‌ی ریمانی
    • ایده‌ی تعریف
    • مقسم‌های یک رویه‌ی ریمانی و قضیه‌ی آبل
    • پیمانه‌ای بودن به بیان ژاکوبین خم‌های پیمانه‌ای
  • خم‌های پیمانه‌ای به عنوان واریته
    • خم‌های جبری و میدان‌های تابعی وابسته به آن‌ها
    • ‌جفت‌سازی ویل
    • نگاشت فروبینیوس
    • رابطه‌ی آیکلر- شیمورا
  • نمایش‌های گالوایی
    • میدان‌های عددی گالوایی
    • نمایش‌های گالوایی
    • نمایش‌های گالوایی و خم‌های بیضوی
    • نمایش‌های گالوایی و فرم‌های پیمانه‌ای
    • نمایش‌های پیمانه‌ای
  • دگردیسی نمایش‌های گالوایی
    • حلقه‌های دگردیسی جهانی
      • ساختن R
      • ساختن T
    • اثبات قضیه‌ی اصلی یکریختی حلقه‌های دگردیسی جهانی
      • دگردیسی‌های بی‌نهایت کوچک
      • گروه‌های سلمر تعمیم یافته
      • اثبات پایه‌ی استقراء: =
    • پیمانه‌ای بودن E,3 یا E,5
  • کوهومولوژی گالوا
  • کتاب‌نامه
...see more