Loading...

Iteratively Constructing Preconditioners via the Conjugate Gradient Method

Mousa Abadian, Mohammad | 2013

2208 Viewed
  1. Type of Document: M.Sc. Thesis
  2. Language: Farsi
  3. Document No: 44496 (02)
  4. University: Sharif University of Technology
  5. Department: Mathematical Sciences
  6. Advisor(s): Farhadi, Hamid Reza
  7. Abstract:
  8. The main goal of this work is solving system of linear equations Ax = b, where A is a n_n square matrix, b is a n_1 vector and x is the vector of unknowns. When n is large, using direct methods is not economical. Thus, the system is solved by iterative methods. At first, projection method onto subspace K _ Rn with dimension m _ n is described, and then this subspace K is equalized with the krylov subspace. Then,some samples of projection methods onto the krylov subspace, such as FOM, GMRES and CG (Conjugate Gradient), are considered. The preconditioning of the linear system is explained, that is, instead of solving system Ax = b, the system PAx = Pb (P nonsingular), is solved, such that the condition number of P is less than the condition number of A. In 2007 Dungan and Harvey introduced a new algorithm for designing iterative preconditioner based on one iteration of a new conjugate gradient method. Finally, numerical results of an implementation of this algorithm on some test problems are reported. These results confirm that especially for matrices with large condition number, the algorithm is efficient in error reduction. It is remarkable that a good preconditioning is possible if a good preconditioner is available
  9. Keywords:
  10. Conjuagate Gradient Method ; Preconditioning ; Iteration Method

 Digital Object List

 Bookmark

  • تعاریف و مفاهیم مقدماتی
    • نرم‌های برداری
    • نرم‌های ماتریسی
    • ضرب داخلی
    • متعامد سازی گرام-اشمیت
    • ماتریس‌های معین مثبت
    • تجزیه‌ی مثلثی
    • تجزیه‌ی چولسکی
  • عملگرهای تصویر
    • نمایش ماتریسی
    • تصویر کننده‌های متعامد و نامتعامد
    • ویژگی‌های تصویر کننده‌های متعامد
    • حالات خاص تصویر
    • مساله‌ی کمترین مربعات
  • روش‌های تصویر
    • تعاریف اساسی و الگوریتم‌ها
      • روش‌های تصویر در حالت کلی
      • نمایش ماتریسی
    • نظریه‌ی عمومی
      • دو نتیجه‌ی بهینگی
      • تفسیری بر اساس تصویر کننده‌ها
      • کران خطا در حالت کلی
    • فرایندهای تصویر یک بعدی
      • روش تندترین کاهش
      • روش باقی‌مانده‌ی مینیمم
      • روش تندترین کاهش نرم باقی‌مانده
  • روش‌های زیر فضای کرایلف
    • مقدمه
    • زیر فضاهای کرایلف
    • روش آرنولدی
      • الگوریتم پایه
      • پیاده سازی عملی
    • روش آرنولدی برای دستگاه‌های خطی
    • روش باقی‌مانده‌ی مینیمال تعمیم یافته
      • الگوریتم GMRES پایه
    • الگوریتم لانچوز متقارن
      • الگوریتم لانچوز
    • روش گرادیان مزدوج
      • نحوه‌ی پدید آمدن روش گرادیان مزدوج
    • تحلیل همگرایی
      • چند جمله‌ای‌های چبیشف حقیقی
      • همگرایی روش گرادیان مزدوج
  • پیش حالت سازی
    • پیش حالت سازی و روش‌های ایستا
    • انواع پیش حالت سازی
    • روش گرادیان مزدوج پیش حالت سازی شده
      • حفظ تقارن
      • پیاده سازی‌های کارا
    • GMRES پیش حالت سازی شده
      • GMRES پیش حالت سازی شده از چپ
      • GMRES از راست پیش حالت سازی شده
      • مقایسه‌ی پیش حالت سازی چپ و راست
  • ساختن پیش حالت ساز بازگشتی
    • مقدمه
      • نگاه کلی
      • طراحی پیش حالت ساز
    • مرور کلی بر الگوریتم
      • تابع‌های پتانسیل
    • یک روش گرادیان مزدوج جدید
      • مقایسه با CG معمولی
    • اصلاح پیش حالت ساز
    • روند تغییرات نرم باقی‌مانده
    • نتایج عددی
      • جدول‌های مربوط به آزمون روش‌ها و مشخصات ماتریس‌های آزمون
      • مقایسه‌ی روش‌های RecPrCg، DiagPrCg و Cg
      • نتیجه گیری
    • بحث پایانی
  • پیوست
  • کتاب‌نامه
...see more